一、引言
在我国传统音乐中，古琴是最古老的弦乐器之一。《乐记》有“昔者舜作五弦之琴，以歌南风”之说。清代著名琴家徐祺在《五知斋琴谱》中写道：“昔者伏曦之王天下也。仰观俯察，感荣河出图，以画八卦，听八风以制音律，采峰山孤桐，合阴备阳，造为雅乐，名之曰琴。”另外也有人说古琴是神农或尧帝等创制的。这些虽出自传说，无文字记载或实据可考，但在安阳殷墟墓葬中出土的文物中有两件像琴的石器，且甲骨文中把音乐的乐字记为“”，这是以丝弦张附在木器上的象形，由此说明在殷商时代（即甲骨文产生之际）就已有了琴这一类乐器，大概是可信的[1]。由此亦可推知古琴应产生于殷商之际甚或在此之前，即古琴已存在三千多年了。
对于这样一件产生于史前，而且几乎完整不变地流传至今的乐器，不仅在中国，即便是在全世界范围也难以再找到第二个！因此，对古琴尤其是古琴音乐进行详细的考察与研究，不仅能够揭示我国古代音乐的发展变化情况，而且亦可从中透视出我国古代社会政治、经济和科技的发展与变化[2][3][4]。
对音乐进行研究，当今占据主导地位的有三种方法，即历史的方法、分析的方法和比较的方法[5]。这三种方法在音乐研究中已经取得了辉煌的成就，而且仍还有着非常广阔的前景。但是，它们各自的研究范围都比较狭小，或某一作品，或某一人某一派的作品，或某一时期的作品，或某一地域（或西方或东方或非洲或拉美）的作品，而不能从整体上研究范围更广的音乐现象。众所周知，无论古今，不分地域，任何地方只要有人，就会有音乐，这就说明音乐必定有着某种属性，它是一种与时空无关的非民族性的属性，即音乐的自然属性。可这种自然属性究竟是什么呢？怎样才能将它表示出来呢？我们认为，分形几何为这一问题的解答提供了一种可能[6][7]。
二、分形几何与音乐
分形几何[8]的概念是由曼得勃罗在上世纪60年代末提出来的。它的主要思想是说，在不规则现象表面所呈现的杂乱无章的背后仍存在着规律，这个规律就是在放大过程中呈现出的自相似性。
在自然界中，分形现象普遍存在，俯拾即得。如：微观世界中晶体的生长，相变过程和化学反应等；宇观世界中太阳黑子的活动和星际空间物质的分布等；宏观世界中河流的走向，树枝的分叉以及地震震级的分布等；就连我们人体血液循环系统中血管的分支和脑电波分布都是分形的。也就是说，自然界似乎存在着“分形者生存”这一规律。
既然我们赖以生存的这个世界到处都充满着分形，既然我们的血管分支和脑电波都是分形的，因而想必在我们的潜意识中（或者是本能地）对分形现象定会有着某种默契或产生共鸣，或者说我们人也偏爱分形，正是这种偏爱形成了音乐创作与欣赏在主体心理与对象间的锁定。沃斯和科拉克[6]等人首先从实验上证明了这一点，他们发现优美动听的音乐的音量是分形的，后来许氏父子（许靖华和安得鲁·许）[7]又从理论上证明了古典音乐中旋律的进行也是分形的。
三、古琴音乐中的分形几何
为了研究音乐的分形几何，首先必须把它加以量化，因此撇开音乐的社会学定义不讲，现在我们从数学上给它下一个定义：音乐是具有不同音高（频率）的音的一种有序排列。既然如此，那么这种有序的数学表达是什么？随意地敲击琴键不会产生音乐，不同音的有序排列组成了旋律，这种排列是分形的吗？如果答案是肯定的话，那么在一首音乐作品中两相邻音之间的音程i与其出现的几率F应满足下述关系：
F=C/iD或logF=C’-Dlogi
即音程i的对数与其出现几率F的对数之间存在线性关系,也就是说以logF和logi为纵横坐标作图,则各点均应在同一直线上。其中D为该作品的分形维数（分维），C为比例系数，C’=logC。
许氏父子通过分析发现[8]，对于巴赫和莫扎特等古典音乐大师的作品，上述分形关系式均可确立，但对于现代无调性音乐作品，则无此种关系。为了对我国古代音乐进行深入的理解与研究，为了对东西方音乐的异同进行比较，下面我们也将使用这一方案对我国古琴音乐进行分析。
图中与分形关系有较为显著偏离的是i=7（纯五度）和i=10（小七度）的过量。其实对于这种偏离也是不难理解的，根据和声音程在听觉上所产生的印象，音程可以分为协和音程与不协和音程两类。两音的频率具有较小整数比的音程叫协和音程，属于这一类的有极完全协和音程的纯一度（1：1）和纯八度（2：1）以及完全协和音程的纯五度（3：2）和纯四度（4：3）。所有这些音程听起来都很悦耳，因而在优美的乐曲中协和音程出现的几率就较大，从而导致了对分形关系的偏离。类似的，由于不协和音程（小二度i=1，减五度i=6和大七度i=11等）在听觉上给人的印象是比较刺耳，彼此很不融合，因而作曲家在创作时总是有意识地少用，这也就导致了与分形关系的偏离。
图1B是巴赫《创意曲》No.1的旋律分形关系。人们曾评论说，巴赫的作品有着数学般的精确，如果这种精确是指在其作品分形关系成立严格程度的话，那么把图1A和图1B相比较可以看出，古琴曲《幽兰》有着较巴赫《创意曲》No.1更为精确的数学。《幽兰》曲早《创意曲》千年而作，况中国与德国又相距万里之遥，且又分属东西方两种不同的文化圈，何以二者都服从分形关系呢？难道这只是偶然的巧合吗？
为了更深入地理解这一问题，我们对大量的古琴曲[9]进行了统计分析，结果表明，绝大多数的乐曲中均存在着分形关系。特别是《阳春》和《华胥引》，它们有一个共同的特点是分形关系中的比例系数C＝1（即分形关系线延长与纵轴相交于O点），这与莫扎特的F大调《奏鸣曲》及A大调《奏鸣曲》完全一样。一般认为，莫扎特的这两首曲子有着图画般的绚丽，而古琴曲《阳春》和《华胥引》亦是音画交融美妙无比。那么，这种对应仅是种巧合呢还是有着尚未发现的更深刻的原因？
与西方古典音乐相比，古琴音乐有以下几个特点。
（1）同音重复和八度音出现的比例较大。究其原因，固然是因为同音重复（i=0）和八度音（i=12）属于极完全协和音程，听起来融合悦耳，但更主要的原因是古琴音乐大多来源于以民歌为基础的琴歌，而民歌中同音重复的比例极大，这是一个带有普遍性的规律，古今中外，概莫能外，如在莫扎特的取材于民歌而创作的A大调《奏鸣曲》的第一乐章中，同音重复的比例亦高达27％。
（2）几乎没有半音（i=1）和三整音（i=6）。与西方音乐不同，我国古代音乐大多采用五声调式或以五声调式为基础的六声调式与七声调式。在五声调式中根本就没有半音和三整音，六声调式中由于清角和变宫音的加入导致半音的出现，七声调式中更由于在五声调式的小三度音程中加入了不同的“偏音”，从而导致除半音外又出现了三整音，但鉴于半音和三整音听起来比较刺耳，而且演奏起来也不易把握，故而出现频率较低。
（3）小三度（i=3）的过量和大三度（i=4）的不足。众所周知，由于汉语语言的音韵特点对音乐旋律的深刻影响，小三度在我国民族音阶的发展过程中一直占有重要的地位，即使今天，在我国民间劳动歌曲的呼号声中，多数情况下小三度也还占据主导地位，如京韵大鼓口语旋律在行腔时就呈现典型的三度音程特征。所以说，小三度的过量是很自然的。大三度不足的原因同样来源于古琴曲的调式，如在五声调式中，大三度只能存在于宫音与角音之间，这样在一首乐曲中，除非是有意地采用大三度音程，否则它一定是不足的。
（4）复音程（i>12）出现的比例较大。西方古典音乐中复音程呈现的比例均在百分之一以内，而在古琴音乐中复音程呈现的比例则在百分之几到百分之十几不等。这种差别可能来自于东西方人的心智模式（思维方式与思维习惯）的不同。国人一般是从整体上看待和把握事物，喜欢那种宽阔宏大的场面；而西方人通常是从细微之处认识和掌握事物，他们喜欢那种细致、严格、有确定界限的景观。这种哲学上的认知差别反映在音乐中便造成了上述差异。
在分析中，我们还发现了一个不存在分形关系的例子，这就是著名的古曲《流水》。其实，出现这一现象也是不难理解的，为了模仿水流的自然响声，为了表现流水的从容缓进和跌宕起伏，亦即为了表达流水的“洋洋乎”，曲作者过量地使用了小三度和纯五度等音程，从而使得其他音程显得相对不足，无法与其相匹配。但琴曲《流水》与西方现代无调性音乐（亦无分形关系存在）是不同的，在现代无调性音乐作品中，广音程特别是某些不协和音程（如减五度）出现的几率很大，甚至超过了狭音程，但在《流水》一曲中狭音程出现的几率仍是最大的。
四、结论
音乐研究通常是从音乐的社会性（即社会历史与民族文化）角度进行的。但是我们知道，音乐是一门艺术，也是一门科学。如何利用现代科学的成果进行音乐创作与音乐研究，是摆在音乐工作者面前的一个新问题。
本文利用分形几何的特征与方法，证明了古琴音乐中的旋律是分形的，并且对中外音乐作品的异同进行了初步的比较分析。是否可以利用这种方法进行完整的音乐形态（如和声与织体等）分析呢？是否可以利用这种技术进行音乐作品的改编呢？进一步的研究表明答案是肯定的。
参考文献：
[1]许健.琴史初编[M].北京：人民音乐出版社，1982.
[2]章华英.古琴音乐与东方哲学[J].中国音乐，1991（3）1.
[3]牛陇菲.古琴与钢琴[J].星海音乐学院学报，2001（4）11.
[4]史弘.手挥五弦心游太玄[J].中国音乐学，1995（2）52.
[5]杨燕迪.实证主义及其衰落——英美二次世界大战后的音乐学发展略述.[J].中国音乐学，1990（1）99.
[6]Voss，R.F.&Clark，J.1/fnoiseinmusicandspeech[J].Nature，1975，258：317.
[7]Hsu，K.J.&Hsu，A.J.Fractalgeometryofmusic[J].Proc.Natl.Acad——Sci.USA，1990，87：938.
[8]汪富泉、李后强.分形——大自然的艺术构造[M].济南：山东教育出版社，1996
[9]中央音乐学院中国音乐研究所、北京古琴研究会.古琴曲集（第一集）[M].北京：音乐出版社，1962
